Tarea 1

1. Clasifique las siguientes series (discreta o continua, univariada o multivariada)

a. Índice diario de bolsa de valores durante el período de enero 1990 a diciembre 2010. R/ Continua Univariada

b. Registro de la marea en un lugar específico durante 30 días. R/ Continua Univariada

c. Presión sanguínea de una mujer durante el embarazo. R/ Continua Univariada

d. Temperatura promedio diario durante el año 2019.R/ Discreta Univariada

e. Registro diario de nacimiento y defunciones durante el año 2010. R/ Discreta Multivariada

3. En la base de datos “nacimiento1990_1995.xls” se tienen las cifras de los nacimientos mensuales inscritos en Costa Rica de enero de 1990 a diciembre de 1995.

a. Importe los datos a R.

naci <- read_excel("Datos/nacimiento1990_1995.xls", 
    col_names = c("Fecha","Nacimientos"))

nacits<-ts(naci$Nacimientos,frequency = 12,start=c(1990,1))

b. Elabore un gráfico de la serie.

p<-autoplot(nacits) + 
  labs(x ="t", y = "Nacimientos", title=" Evolución de los nacimientos (ene-90 a dic-1995)")+
  theme_classic()

ggplotly(p)

decomposeNacitsAditi <- decompose(nacits,"additive")

p2<-autoplot(decomposeNacitsAditi)+
  theme_bw()+
  ggtitle("Descomposición Aditiva")

ggplotly(p2)

p3<-ggseasonplot(nacits, year.labels=FALSE, continuous=TRUE)+
  theme_bw()

ggplotly(p3)

## Warning: `group_by_()` is deprecated as of dplyr 0.7.0.
## Please use `group_by()` instead.
## See vignette('programming') for more help
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_warnings()` to see where this warning was generated.

ggseasonplot(nacits, year.labels=FALSE, continuous=TRUE,polar = T)+
  theme_bw()

c. Comente sobre las características de la serie.

4. Considere el proceso estocástico \(Z_{t}=a_{t}\) con \(t = ±1, ±2\), … y

\[ a_{t}=\left\{\begin{matrix} 1 & Prob=0.5\\ -1 & Prob=0.5 \end{matrix}\right.\]

1. Calcule la media del proceso \(Z_{t}\).

\[ E(Z_{t})=E(Z_{t})=1\cdot0.5+-1\cdot0.5=0 \]

2. Calcule \(\gamma \left ( t,s \right )=Cov\left ( a_{t},a_{s} \right )\) y haga su gráfico.

Caso cuando \(s \neq t\)

\[ Cov\left ( a_{t},a_{s} \right )= E[(a_{t}-\mu_{t}),(a_{s}-\mu_{s})]\] \[= E[a_{t}\cdot a_{s}] = E[a_{t}] \cdot E[a_{s}]=0\] Caso cuando \(s = t\)

\[ Cov\left ( a_{t},a_{s} \right )= Var[a_{t}]=E[a_{t}^{2}]\] \[=1^2*0.5+(-1)^0.5=1\] entonces

\[ \gamma \left ( t,s \right )=\left\{\begin{matrix} 1 & s=t\\ 0 & s \neq t \end{matrix}\right.\]

3. Calcule \(\rho\left ( t,s \right )= Cov\left ( a_{t},a_{s} \right )\) y haga el gráfico.

\[\rho\left ( t,s \right )= \frac{\gamma\left ( t,s \right )}{\sqrt{\gamma\left ( t,t \right ),\gamma\left ( s,s \right )}}\] Caso cuando \(s \neq t\)

\[= \frac{0}{\sqrt{1 \cdot 1}}=0\]

Caso cuando \(s = t\)

\[\rho\left ( t,t \right )= \frac{\gamma\left ( t,t \right )}{\sqrt{\gamma\left ( t,t \right ) \cdot \gamma\left ( t,t \right )}}=\] \[\rho\left ( t,t \right )= \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1}}=1\] entonces

\[ \rho \left ( t,s \right )=\left\{\begin{matrix} 1 & s=t\\ 0 & s \neq t \end{matrix}\right.\]

4. ¿Zt es débilmente estacionario?

Se concluye que \(Z_{t}\) es debilmente estacionario ya que la media es constante y \(\rho \left ( t,s \right )\) no depende de t

6.Si \(\left \{X_{t}, t \in T \right \}\) y \(\left \{Y_{t}, t \in T \right \}\)son estacionarios y además independientes, defina \(Z_{t} = a \cdot X_{t} + b \cdot Y_{t}\) para todo t. ¿\(\left \{Z_{t}, t \in T\right \}\)$ será estacionario?

7. Considere una secuencia aleatorias \(\left \{\epsilon_{t}, t \geq 1 \right \}\) tal que \(\epsilon_{t}\) es independiente e idénticamente distribuida con media \(\mu_{\epsilon}\) y variancia \(\sigma_{\epsilon}^{2}\) . Defina el paseo aleatorio \(X_{t}\) como

\[X_{t}=\epsilon_{1}+\epsilon_{2}+...+\epsilon_{t}\]

1. Muestre que \(E(X_{t})=t \cdot \mu_{\epsilon}\) y \(Var(X_{t}) = t \cdot\sigma_{\epsilon}^{2}\)

Media de \(X_{t}\) \[ E(X_{t})=E(\epsilon_{1}+\epsilon_{2}+...+\epsilon_{t})\] \[ = E(\epsilon_{1})+E(\epsilon_{2})+...+E(\epsilon_{t})\]

\[ = \mu_{\epsilon}+\mu_{\epsilon}+...+\mu_{\epsilon}= t \cdot \mu_{\epsilon}\]

Varianza de \(X_{t}\)

\[ Var(X_{t})=Var(\epsilon_{1}+\epsilon_{2}+...+\epsilon_{t})\] \[ = Var(\epsilon_{1})+Var(\epsilon_{2})+...+Var(\epsilon_{t})\] \[ = \sigma_{\epsilon}^{2}+\sigma_{\epsilon}^{2}+...+\sigma_{\epsilon}^{2}= t \cdot \sigma_{\epsilon}^{2}\]

2. Muestre que \(\gamma_{x}(t,s)=\sigma_{\epsilon}^{2}\cdot min(t,s)\)

\[\gamma_{x}(t,s)=cov(x_{t},x_{s})\] Para el caso donde \(s=t\):

\[\gamma_{x}(t,t)=cov(x_{t},x_{t})=Var(x_{t},x_{t})=t \cdot \sigma_{\epsilon}^{2}\] Para el caso donde \(s=t+h\):

\[\gamma_{x}(t,t+h)=cov(x_{t},x_{t+h})\]

\[Cov[(\epsilon_{1}+\epsilon_{2}+...+\epsilon_{t}),(\epsilon_{1}+\epsilon_{2}+...+\epsilon_{t}+\epsilon_{t+h})]=\] \[=Cov(\epsilon_{1},\epsilon_{1})+Cov(\epsilon_{1},\epsilon_{2})+...+Cov(\epsilon_{1},\epsilon_{t})+Cov(\epsilon_{1},\epsilon_{t+h})+ \] \[Cov(\epsilon_{2},\epsilon_{2})+Cov(\epsilon_{2},\epsilon_{2})+...+Cov(\epsilon_{2},\epsilon_{t})+Cov(\epsilon_{2},\epsilon_{t+h})+\] \[...+Cov(\epsilon_{t},\epsilon_{1})+Cov(\epsilon_{t},\epsilon_{2})+...+Cov(\epsilon_{t},\epsilon_{t})+Cov(\epsilon_{t},\epsilon_{t+h}) \]

Dado que \(\epsilon_{t}\) es independiente las covarianzas donde los periodos son diferentes tienen \(Cov(\epsilon_{i},\epsilon_{j})=0\) para \(i \neq j\)

\[=Cov(\epsilon_{1},\epsilon_{1})+Cov(\epsilon_{2},\epsilon_{2})+...+Cov(\epsilon_{t},\epsilon_{t}) \]

\[=Var(\epsilon_{1},\epsilon_{1})+Var(\epsilon_{2},\epsilon_{2})+...+Var(\epsilon_{t},\epsilon_{t})=t \cdot \sigma_{\epsilon}^{2} \] Caso donde s=t-h

\[\gamma_{x}(t,t-h)=cov(x_{t},x_{t-h})\] \[Cov[(\epsilon_{1}+\epsilon_{2}+...+\epsilon_{t-h}+\epsilon_{t}),(\epsilon_{1}+\epsilon_{2}+...+\epsilon_{t}+\epsilon_{t-h})]=\] \[=Cov(\epsilon_{1},\epsilon_{1})+Cov(\epsilon_{1},\epsilon_{2})+...+Cov(\epsilon_{1},\epsilon_{t})+Cov(\epsilon_{1},\epsilon_{t-h})+ \]

\[Cov(\epsilon_{2},\epsilon_{2})+Cov(\epsilon_{2},\epsilon_{2})+...+Cov(\epsilon_{2},\epsilon_{t-h})+\] \[...+Cov(\epsilon_{t-h},\epsilon_{1})+Cov(\epsilon_{t-h},\epsilon_{2})+...+Cov(\epsilon_{t-h},\epsilon_{t-h}) \]

\[...+Cov(\epsilon_{t},\epsilon_{1})+Cov(\epsilon_{t},\epsilon_{2})+...+Cov(\epsilon_{t},\epsilon_{t-h}) \]

Dado que \(\epsilon_{t}\) es independiente las covarianzas donde los periodos son diferentes tienen \(Cov(\epsilon_{i},\epsilon_{j})=0\) para \(i \neq j\)

\[=Cov(\epsilon_{1},\epsilon_{1})+Cov(\epsilon_{2},\epsilon_{2})+...+Cov(\epsilon_{t-h},\epsilon_{t-h}) \]

\[=Var(\epsilon_{1},\epsilon_{1})+Var(\epsilon_{2},\epsilon_{2})+...+Var(\epsilon_{t-h},\epsilon_{t-h})= (t-h) \cdot \sigma_{\epsilon}^{2} \]

entonces

\[ \gamma \left ( t,s \right )=\left\{\begin{matrix} t \cdot \sigma_{\epsilon}^{2} & s\geq t\\ (t-h) \cdot \sigma_{\epsilon}^{2} & s < t \end{matrix}\right.\]

\[\gamma \left ( t,s \right )=\sigma_{\epsilon}^{2}\cdot min(t,s)\]

3. ¿Es \(X_{t}\) estacionario?

Se concluye que \(X_{t}\) NO es estacionario debido a que la media no es constante y \(\gamma \left ( t,s \right )\) depende de t

4. Simule los datos de \(\epsilon_{t}\) y \(X_{t}\) de tamaño T = 100. Realice gráficos lineales para las dos series simuladas y comente los resultados.

#Tamaño

T <- 100

## Ruido blanco= Normal con media 0 y varianza 1
epsilon <- rnorm(T,0,1) 
plot.ts(epsilon, col="royalblue2")

#Caminata aleatoria
X <- cumsum (epsilon)
plot.ts(X, col="red4")
xx<-1:100
lo <- loess(X~xx)
lines(predict(lo), col='red', lwd=2)
abline(h=mean(X), col='blue')

Como se observa en el gráfico anterior, la variable \(X\) no oscila de manera alrededor de la media (linea azul), ya que depende de t (tiempo)

9. Utilice la serie fpp2::goog de la bolsa de valores del Google entre 25 de febrero, 2013 a 13 de febrero, 2017.

1. Haga un gráfico lineal de la serie y comente las características de esta serie.

accgoogle<-fpp2::goog
str(accgoogle)

##  Time-Series [1:1000] from 1 to 1000: 393 393 397 398 400 ...

head(accgoogle)

## Time Series:
## Start = 1 
## End = 6 
## Frequency = 1 
## [1] 392.8300 392.5121 397.3059 398.0113 400.4902 408.0957

pgoogle<-autoplot(accgoogle)+
  theme_bw()

ggplotly(pgoogle)

2. Una serie diferenciada Z_{t} de la serie Y_{t} es definida como

\(Z_{t} = Y_{t} −Y_{t−1}\)

Zt mide el cambio que produce la observación en el tiempo t con respecto a la observación en el tiempo t − 1. Utilice la función diff(goog) para obtener los cambios diarios de la serie.

zt<-diff(accgoogle)

3. Haga un gráfico lineal de la serie obtenida en b. ¿La serie parece a un ruido blanco?

pzt<-autoplot(zt)+
  theme_bw()

ggplotly(pzt)

4. Utilice la función ggAcf() para calcular la función de autocorrelación y compárela con la función de autocorrelación de los ruidos blancos.

pzt2<- ggAcf(zt)+
  theme_bw()

ggplotly(pzt2)